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Visualiser les moyens géométriques et harmoniques – Luke Persola

Visualiser les moyens géométriques et harmoniques - Luke Persola


Longtemps après avoir appris à calculer les moyennes géométriques et harmoniques, je ne savais toujours pas exactement ce qu'ils faisaient pour moi. J'ai fini par me clarifier la situation en générant une série de visualisations que je vais vous montrer dans ce post.

Tout d’abord, un rapide examen des algorithmes eux-mêmes.

Le moyen pythagoricien. est un tuple / tableau / liste. 𝑛 est la longueur de. (Notation) (notation)

le moyenne arithmétique est ce que les gens parlent habituellement quand ils disent «moyenne». De loin le plus utilisé, il est simple à calculer. Vous additionnez les parties, puis divisez par le nombre.

le Moyenne géométrique a la même procédure mais des opérations différentes. Toi multiplier les parties, puis prenez la racine correspondant à combien il y avait. La moyenne géométrique est souvent utilisée pour trouver la moyenne de données mesurées dans différentes unités.

le moyenne harmonique est la moyenne arithmétique avec deux étapes supplémentaires. Tout d’abord, trouvez l’inverse multiplicatif de chaque nombre (pour X, c’est 1X). Puis additionnez et divisez ces inverses comme vous le feriez pour la moyenne arithmétique. Ensuite, reprenez l'inverse. La moyenne harmonique est utilisée pour calculer le score F₁.

À mes yeux, la moyenne harmonique semblait être la plus laide des trois. Surtout en comparaison avec la moyenne arithmétique plus familière, les inverses multiplicatifs semblaient être pris en défaut, leur but difficile à déchiffrer. Mais comme nous le verrons, c’est en fait l’équation du sens harmonique qui servira de base à l’unification de notre compréhension des trois.

Un terrain de préhension

La moyenne arithmétique

Ce graphique montre le résultat de la moyenne arithmétique de deux nombres. Chaque axe représente l'un des nombres et la nuance de gris en chaque point représente la moyenne des deux.

L'ordre des deux nombres n'a pas d'importance, les axes sont donc interchangeables.

Il est intéressant de noter que la forme de ce tracé ne change pas lorsque vous multipliez tous les nombres situés le long des axes par le même facteur¹. Cela signifie que vous pouvez effectuer un zoom avant ou arrière sur l'intrigue ci-dessus et, tant que vous gardez le point (0, 0) dans le coin inférieur gauche, il ne sera pas différent. (Vous devez également ajuster l’échelle de couleurs, mais c’est quand même arbitraire.)

C’est vrai pour tous les moyens que nous allons examiner. Ainsi, au lieu de penser à des chiffres précis, nous pouvons simplement penser à chaque l'intrigue avec l'origine dans le coin inférieur gauche ressemble à:

La moyenne arithmétique, agnostique à l'échelle. peut être n'importe quel nombre positif.

Pour mieux voir ce qui se passe, je peins des moyens rapprochés de la même nuance:

La moyenne arithmétique

Chaque bande contient de nombreuses paires de nombres qui ont à peu près les mêmes moyens. Vous pouvez maintenant voir que la moyenne ne change pas tant que vous suivez une ligne droite à 45 °. C'est, lorsque vous retirez une quantité d'un des nombres, la moyenne reste la même tant que vous augmentez l'autre nombre du même montant.

Maintenant, je vais tracer la moyenne géométrique de la même manière.

La moyenne géométrique

Nous pouvons voir immédiatement la différence.

C’est un peu plus sombre. La moyenne géométrique est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique.

C’est courbé. Un compromis égal entre les deux nombres ne conserve plus leur moyenne.

En raison de l direction il se courbe, les paires qui sont plus éloignées les unes des autres ont inférieur signifie que ceux qui sont plus proches. Pour clarifier cela, regardons les moyens arithmétiques et géométriques côte à côte:

Arithmétique vs moyenne géométrique

La ligne x = y est tracé en orange ci-dessus. Le long de cette ligne sont les moyennes de paires de nombres identiques. Que ce soit arithmétique ou géométrique, la moyenne de deux nombres identiques est exactement ce même nombre. Donc, le long de la diagonale, ces images sont les mêmes, alors qu’elles ne le sont évidemment pas.

Arithmétique vs moyenne géométrique

Le point entouré en bleu sarcelle représente la moyenne de deux nombres avec une grande différence entre eux. Lorsque vous utilisez la moyenne arithmétique (à gauche), ce point a la même valeur que le point éloigné de 45 ° de la ligne orange. Mais avec la moyenne géométrique (à droite), les valeurs plus éloignées de la ligne orange se plient vers l’extérieur, produisant une moyenne plus basse pour le même point.

Maintenant, la moyenne harmonique:

La moyenne harmonique

Cela ressemble à la géométrique. Voyons-les côte à côte:

Moyenne géométrique vs harmonique

Encore une fois, ils sont identiques sur la diagonale. Mais sur le côté de la diagonale, la moyenne harmonique est plus courbé que le géométrique, et donne des moyens encore plus bas pour les paires plus éloignées.

Donc, la moyenne arithmétique n'a pas de courbe, la moyenne géométrique en a, et la moyenne harmonique encore plus. La différence entre eux dépend en grande partie de leur degré de courbure. Nous pouvons mieux comprendre cela si nous considérons tous les autres degrés de courbure qu'un moyen peut avoir.

Apprêt généralisé

Les trois moyens pythagoriciens appartiennent à une classe plus large de fonctions appelées moyens généralisés. (Celles-ci sont étroitement liées à l’idée d’espaces Lᵖ. Par conséquent, si vous êtes déjà à l’aise avec les espaces Lᵖ, il sera peut-être plus facile de penser à ces images comme des segments de cercles centrés sur l’origine dans des espaces variables. p.)

L'équation de la moyenne généralisée ressemble à la moyenne harmonique, mais les exposants sont remplacés par une variable, classiquement p:

La moyenne généralisée

Ou, algorithmiquement:

  1. Prendre tout à la pᵗʰ pouvoir
  2. Trouvez la moyenne arithmétique comme vous le feriez normalement
  3. Prendre le résultat à la p¹ᵗʰ puissance (trouver le pᵗʰ racine)

Quand p est un, les premier et dernier pas n’ayant aucun effet, vous avez donc trouvé la moyenne arithmétique.

Quand p est négatif, cette équation simplifie l'équation de la moyenne harmonique.

Il s’avère que la moyenne géométrique est la limite de la moyenne généralisée p approche de zéro. Je ne passerai pas par la preuve pour cela car cela prendrait trop de temps et parce que je ne l’ai pas lu, mais comprenez que la moyenne géométrique vit dans le même voisinage que zéro.

(Il n'y a pas de moyenne généralisée à zéro en raison de la division par zéro.)

OK, maintenant nous pouvons visualiser la moyenne généralisée pour toute valeur de p.

Tous les moyens possibles

Tout d’abord, revenons sur les mesures que nous avons déjà prises. Nous allons commencer par la moyenne arithmétique et descendre, passer à la moyenne géométrique à zéro et terminer par la moyenne harmonique à la valeur négative.

Continuons à descendre.

Comme p approche de l'infini négatif, les contours deviennent des lignes droites:

La moyenne généralisée à mesure que p se rapproche de l'infini négatif, c'est-à-dire la fonction minimale

À ce stade, la moyenne généralisée devient la fonction qui renvoie le minimum des deux nombres donnés. Remarquez comment le résultat dépend entièrement du nombre le plus bas.

OK, revenons à la moyenne arithmétique et allons dans la direction opposée.

Il devient plus léger. La valeur est toujours égale ou supérieure à la moyenne arithmétique.

Ça courbe de l'autre côté. Les numéros qui sont plus éloignés ont maintenant plus haute signifie que ceux plus proches les uns des autres.

Quand p est deux, la moyenne généralisée est appelée la moyenne quadratique.

La moyenne quadratique

Nous utilisons souvent la moyenne quadratique dans les statistiques. La moyenne quadratique de certains écarts est un écart type. La moyenne quadratique de certaines erreurs est une erreur racine-moyenne-carré, un nom qui décrit explicitement les trois étapes énumérées précédemment dans l'algorithme pour la moyenne généralisée.

À ce stade, les bandes sont parfaitement rondes, mais c’est un effet secondaire de votre écran existant à une échelle où le monde apparaît de manière trompeuse comme un espace euclidien. 🤯

Continuons à monter.

Comme p se rapproche de l'infini positif, les contours redeviennent des lignes droites et la moyenne devient maximale.

Maximum

Enfin, voyons le tout.

Vous pouvez penser à des moyens généralisés comme se penchant dans une direction ou l’autre, récompensant ou punissant la différence entre les chiffres qui leur sont donnés.

Dans certaines situations, vous devrez peut-être utiliser une moyenne avec des propriétés propres à cette valeur spécifique de p. Mais pour de nombreuses applications, l’important est de savoir si p est à, en dessous ou au dessus de celui qui détermine qu'il s'agisse il se courbe et lequel direction il se courbe dans.

J'espère que les animations ci-dessus vous ont donné une meilleure idée de ce qui se passe lorsque vous utilisez un moyen. Si vous avez des corrections ou des idées à fournir, veuillez laisser un commentaire.

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Je recherche un emploi en science et ingénierie des données près de San Francisco ou à distance. Informations de contact sur mon site personnel.

J'ai généré les images dans ce cahier (matplotlib, imageio).

Grâce à Sam Pierce Lolla pour aider à l'édition.

[1] Parce que la moyenne arithmétique, ainsi que toutes les autres moyennes généralisées, sont des fonctions homogènes du degré un.

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