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Le génie sans pareil de John von Neumann – Le paradis de Cantor

Le génie sans pareil de John von Neumann - Le paradis de Cantor


À la fin de 1929, le nombre de grands articles publiés par von Neumann était passé à 32, soit en moyenne près d’un article important par mois. En 1929, il devint brièvement Privatdozent à l'Université de Hambourg, où il a découvert que les perspectives de devenir professeur étaient meilleures.

Mécanique quantique

Dans une liste restreinte que von Neumann a lui-même soumise à l'Académie nationale des sciences plus tard dans sa vie, il a présenté ses travaux sur la mécanique quantique à Göttingen (1926) et à Berlin (1927-1929) comme «les plus essentiels». Le terme mécanique quantique, largement conçu par Werner Heisenberg, le jeune homme de 23 ans de Göttingen, était encore controversé l'année précédente et, la même année, par von Neumann, Erwin Schrödinger, de Suisse, avait rejeté la formulation de Heisenberg comme totalement erronée (Macrae, 1992). Comme le dit l'histoire:

"Dans les premières semaines de Johnny à Göttingen en 1926, Heisenberg expliqua la différence entre ses théories et celles de Schrödinger. Hilbert, le vieillissant professeur de mathématiques, demanda à son assistant de physique, Lothar Nordheim, de quoi pouvait bien parler ce jeune homme, Heisenberg. Nordheim envoyait Pour le professeur, Hilbert ne comprenait toujours pas ce qu'il pensait. Pour citer Nordheim lui-même, il est écrit dans le livre de Heims: "Quand von Neumann a vu cela, il l'a jeté en quelques jours dans une élégante forme axiomatique, au gré de Hilbert." Pour le plus grand plaisir de Hilbert, l’exposition mathématique de Johnny s’est beaucoup inspirée de son propre concept d’espace Hilbert. "- extrait, John von Neumann par Norman Macrae (1992)

À partir de l'incident ci-dessus, dans les années suivantes, von Neumann publia un ensemble de documents qui établiraient un cadre mathématique rigoureux pour la mécanique quantique, désormais connu sous le nom d'axiomes de Dirac-von Neumann. Comme l'écrit Van Hove (1958),

"Au moment où von Neumann commençait ses recherches sur le cadre formel de la mécanique quantique, cette théorie était connue dans deux formulations mathématiques différentes: la" mécanique matricielle "de Heisenberg, Born and Jordan et la" mécanique des vagues "de Schrödinger. L'équivalence mathématique Schrödinger a établi ces formulations et les a incorporées comme cas particuliers dans un formalisme général, souvent appelé "théorie de la transformation", développé par Dirac et Jordan.Ce formalisme, cependant, était plutôt maladroit et était gêné par sa dépendance à des objets mathématiques mal définis, aux fameuses fonctions delta de Dirac et à leurs dérivés. [..] [von Neumann]  J'ai vite compris qu'un cadre beaucoup plus naturel était fourni par la théorie axiomatique abstraite des espaces de Hilbert et de leurs opérateurs linéaires. "- extrait, Les contributions de Von Neumann à la théorie quantique de Léon Van Hove (1958)

Dans la période 1927–31, von Neumann a publié cinq articles très influents sur la mécanique quantique:

  • von Neumann (1927). Mathematische Begründung der Quantenmechanik (“Fondement mathématique de la mécanique quantique”) in Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse pp. 1-57.
  • von Neumann (1927). Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik («Théorie probabiliste de la mécanique quantique») dans Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften de Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, p. 245-227.
  • von Neumann (1927). Thermodynamik quantenmechanischer Gesamtheiten («Thermodynamique des quantités mécaniques quantiques») dans Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften à Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. pp. 273-291.
  • von Neumann (1930). Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren («Théorie générale des valeurs propres des opérateurs fonctionnels hermitiens») dans Mathematische Annalen 102 (1) pp 49–131.
  • von Neumann (1931). Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren («Le caractère unique des opérateurs de Schrödinger») dans Mathematische Annalsen, 104 p. 570-578.

Sa vision de base, que ni Heisenberg, Bohr ni Schrödinger n’avaient, selon Paul Halmos, était "Que la géométrie des vecteurs dans un espace de Hilbert ait les mêmes propriétés formelles que la structure des états d'un système mécanique quantique" (Macrae, 1992). C'est-à-dire que von Neumann s'est rendu compte qu'un état d'un système quantique pouvait être représenté par un point, un espace de Hilbert complexe, qui, en général, pouvait avoir une dimension infinie, même pour une seule particule. Dans une telle vision formelle de la mécanique quantique, les quantités observables telles que la position ou la quantité de mouvement sont représentées en tant qu'opérateurs linéaires agissant sur l'espace de Hilbert associé au système quantique (Macrae, 1992). Le principe d’incertitude, par exemple, dans le système de von Neumann se traduit par la non-commutativité de deux opérateurs correspondants.

En résumé, on peut dire que la contribution de von Neumann à la mécanique quantique est double:

  • Le cadre mathématique de la théorie quantique, où les états du système physique sont décrits par les vecteurs spatiaux de Hilbert et les quantités mesurables (telles que la position, la quantité de mouvement et l'énergie) par des opérateurs hermitiens non bornés agissant sur eux; et
  • Les aspects statistiques de la théorie quantique. Au cours de sa formulation de la mécanique quantique en termes de vecteurs et d’opérateurs dans les espaces de Hilbert, von Neumann a également énoncé la règle de base de la manière dont la théorie devrait être comprise de manière statistique (Van Hove, 1958). C'est-à-dire que, du fait de la mesure d'une quantité physique donnée sur un système dans un état quantique donné, sa distribution de probabilité devrait être exprimée au moyen d'un vecteur représentant l'état et la résolution spectrale de l'opérateur représentant la quantité physique.
Première édition copie de Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (1932) de John von Neumann

Ses travaux sur la mécanique quantique ont finalement été rassemblés dans le livre très influent de 1932 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (“Fondements mathématiques de la mécanique quantique ”), a considéré la première formulation mathématique rigoureuse et complète de la mécanique quantique.

La mécanique quantique a vraiment eu la chance d’attirer, dès les premières années qui ont suivi sa découverte en 1925, l’intérêt d’un génie mathématique de la stature de von Neumann. En conséquence, le cadre mathématique de la théorie a été développé et les aspects formels de ses règles d'interprétation entièrement nouvelles ont été analysés par un seul homme en deux ans. (1927-1929). - Van Hove (1958)

Théorie de l'opérateur

Après avoir effectué ses travaux sur la théorie des ensembles et la mécanique quantique, toujours à Berlin, von Neumann s'est ensuite intéressé à l'algèbre, en particulier à la théorie des opérateurs, qui concerne l'étude des opérateurs linéaires sur les espaces de fonctions. Les exemples les plus triviaux sont les opérateurs différentiels et intégraux dont nous nous souvenons tous du calcul. von Neumann a introduit l’étude des anneaux d’opérateurs grâce à l’invention de ce qu’on appelle maintenant les algèbres de Von Neumann, définies comme suit:

Définition d'une algèbre de von Neumann
Une algèbre de von Neumann est une * -algèbre d'opérateurs liés sur un espace de Hilbert fermé dans la topologie d'opérateur faible et contenant l'opérateur d'identification

Le travail a été publié dans le journal Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der Normalen Operatoren («Sur l'algèbre des opérations fonctionnelles et de la théorie des opérateurs normaux») en 1930.

John von Neumann s’est rendu en Amérique pour la première fois alors Privatdozent à l'Université de Hambourg en octobre 1929, lorsqu'il fut invité à donner une conférence sur la théorie quantique à l'Université de Princeton. La visite a conduit à une invitation à revenir en tant que professeur invité, ce qu'il a fait dans les années 1930-1933. La même année, Adolf Hitler est arrivé au pouvoir en Allemagne, poussant von Neumann à quitter ses fonctions académiques en Europe, affirmant à propos du régime nazi que

«Si ces garçons continuent encore deux ans, ils vont ruiner la science allemande pendant une génération - au moins»

Pour la plupart des gens, bien sûr, la prédiction de von Neumann s’est révélée vraie. L'année suivante, à la demande du ministre de l'Éducation nazi «Comment vont les mathématiques à Göttingen, maintenant qu’elles sont libres de toute influence juive? Hilbert aurait répondu:

"Il n'y a plus de mathématiques à Göttingen."

À l'Université de Princeton (1930-1933)

Les circonstances dans lesquelles von Neumann (et une multitude d'autres mathématiciens et physiciens de premier plan) se trouveraient à Princeton, dans le New Jersey, au milieu des années 1930 sont désormais bien connues.

Dans le cas de von Naumann en particulier, il a été recruté aux côtés de son contemporain au lycée, Eugene Wigner, par Oswald Veblen, professeur à l'Université de Princeton, sur recommandation de Princeton, selon Wigner (Macrae, 1992):

"..invite note une seule personne mais au moins deux, qui se connaissaient déjà, qui ne se sentiraient pas soudainement placées sur une île où ils n'auraient aucun contact intime avec qui que ce soit. Le nom de Johnny était bien sûr connu à cette époque du monde. Ils décidèrent alors d’inviter Johnny von Neumann. Ils cherchèrent: qui avait écrit des articles avec John von Neumann? Ils trouvèrent: M. Wigner. Ils m'ont donc envoyé un télégramme. "- extrait, John von Neumann par Norman Macrae (1932)

C'est ainsi que von Neumann est arrivé à Princeton en 1930 en tant que professeur invité. En ce qui concerne son travail, von Neumann lui-même, plus tard dans la vie, a particulièrement souligné son travail sur théorie ergodique.

Théorie ergodique

La théorie ergodique est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés statistiques des systèmes dynamiques déterministes. Formellement, la théorie ergodique concerne les états de systèmes dynamiques avec une mesure invariante. De manière informelle, pensez à la façon dont les planètes se déplacent selon la mécanique newtonienne dans un système solaire: les planètes se déplacent mais la règle régissant le mouvement des planètes reste constante. Dans deux articles publiés en 1932, von Neumann a apporté des contributions fondamentales à la théorie de tels systèmes, y compris le théorème ergodique moyen de von Neumann, considéré comme la première base mathématique rigoureuse pour la mécanique statistique des liquides et des gaz. Les deux articles sont intitulés Preuve de l'hypothèse quasi ergodique (1932) et Applications physiques de l'hypothèse ergodique (1932).

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